菱形面积怎么算（［七年级能懂］用“菱形面积”定义正弦的一次教学探究）

2007年，张景中院士在宁波的“数学教育高级研讨班”的演讲中提到，“正弦可以定义为角度为α的单位菱形的面积"。

我听了之后，很受感动。一位科学院院士，关注中小学教育，而且提出了很有创意的建议。我们在基层工作，应该有所呼应，于是萌发了进行一次教学实验的构想。2007年年底，我与一位有经验的数学教师一起，在宁波一所普通初级中学的初一年级的一个普通班级上了一堂“角的正弦”的实验课。初步结果显示，学生可以懂。三角和面积相联系，比起直角三角形的“对边比斜边”定义更直观，更容易把握。当然，一节课只是初步尝试，有待进一步探究。

本节课的教学目标，我们认为有以下三点：

1. 利用“面积”过渡，了解正弦概念，初步理解正弦涵义；

2. 利用“折扣”这个直观的前概念探究三角形的面积、边、角与正弦的联系;

3. 探究正弦的基本性质，并能做简单的运用。

本节课教学主要分两阶段展开，第一阶段为认识正弦:主要解决用单位菱形面积去定义正弦，即用“面积”这个形象的前概念去帮助理解正弦概念;第二阶段为探究正弦:借用"折扣”这个直观的前概念，解决三角形的面积、边、角与正弦的关系及正弦的基本性质。最后通过课堂练习，巩固对正弦的理解，拓展学生知识运用的视野。为了使课堂更为活跃，探究性更强，我们着重在几何图形的面积变化(用数学软件几何画板)、折扣与正弦的联系上做探究。

下面是这节课的教学片段。

【片段一：认识正弦】

“正弦这个名字是什么意义，先请大家观察一个单位正方形。”上课一开始执教老师就在屏幕上打出一个单位正方形(如图1).

师:(指着图1)正方形的每个角是几度，面积怎么计算?

生:(齐声回答)90°，面积是边长的平方1²=1.

师:(利用几何画板动画功能，将正方形的一个角A慢慢地进行变动)好!现在我让一个角A变动一下，面积会变吗?面积变化与什么有关?(见图2).

生:(肯定的)会变，与角度有关!

师:对!面积变化与角A的变化有关!我们具体看一下，当角A为30°时这个面积为多少呢?(略作停顿)为了解决这个问题，今天我们先引进一个新的数学符号:sinα，叫做角α的正弦，它表示边长为1，一个内角A为α度的菱形ABCD的面积。

生:(思考，一下子没有回答)

师:大家可能不好理解，关键是什么呢?(略作停顿)原因是我们暂时还不知道这个菱形面积是多少。

师:好在我们可以让计算器帮忙，它有这个功能。请同学们拿出计算器，我们一起来计算sin30°，请同学们先按键sin，再按30，结果是多少？

生:(纷纷回答)1/2.

师:对，sin30°=1/2，它表示边长为1、一个角A为30°的菱形面积是1/2。现在我们是不是可以用刚才引入符号来表示讨论的结果呢?

生:(陆续回答)sin30°=1/2.

师:(板书:sin30°=1/2)好!现在我们把这个菱形面积记作 s，这个面积s应该是……?

生:(齐声)s=sin30°=1/2.

师:我们再来看一个正方形(图3)，它由9个单位正方形构成，它的面积S为多少呢?

生:(不假思索)S=9.

师:(因势利导)那么，我们改变角A的度数，如图4，角A所在的一个小菱形的面积为多少?

一女生:sinA.

师:好!好!(教师连连称赞)那么，菱形ABCD面积又是多少?

生:(全体齐声)9sinA.

师:(乘势深入)好!如果把边长为3一个内角为α的菱形面积记为s，s为多少?

生:(似乎找到了初步的规律，兴奋地)

s= 9sinα. (1)

师:太好了!请同学们写出表达式

生:(学生回答教师板书)S(菱形)=9sinα.

师:对!这样我们可以得出什么结论呢?(学生边回答，教师边板书:设边长为a的正方形面积为S，边长为a、一个内角为α的菱形面积为s，那么s/S=sinα).

师:(引申)那么，这个结论对长方形是不是成立呢?如图5，一个一边长为3，另一边长为5的长方形图形的面积S为多少?若将角A变成α度，则所得菱形(图6)的面积s又是多少呢?

图5

图6

生:(很快)

S(长方形)=15；s(菱形)=15sinα. (2)

帅:(赞许地)好!这样找们就可以得出这样一个维结论：设边长分别为a和b的长方形面积为S，边长为a和b、一个内角为α的平行四边形面积为s，那么s/S=sinα，其中，S是边长分别为a和b的长方形面积。

......

通过上面的讨论，学生对正弦的概念开始有了一个初步的认识，在这个过程中，“面积”概念的过渡性引入使正弦这个抽象的数学符号有了直观的模型。

【片段二:正弦再理解】

正弦的概念引入后，教师稍作巩固，并以此构建理解的第一个台阶，就开始了从特殊值到一般值的教学推进，希望能与学生一起寻找并发现帮助全面理解并掌握正弦涵义的桥梁。

师:我们继续研究边长为1的正方形(图1)。通过刚才的讨论，我们已经知道当角A发生变化时(图2)，面积就会发生改变，而且这个改变可以用sinα表示，为了进一步理解sinα，我们先来打个比方，比如买一件商品，原来价格100元，现在打折，只要80元就够了，问这件商品打了几折?

生:打8折。

师:对!再回到刚才对sinα的讨论。大家看，当角A为a时，我们可以用sinα表示它的面积。具体地说，当α=30°时， sinα=1/2，S(菱形)=1/2。我们是否可以认为菱形面积是正方形的面积打了5折后得到的?在这里sin30°相当于一个折扣。

生:(没有马上回答,似乎在思索着什么)……

师:大家再用计算器来计算一下，当α=60°时，菱形的面积是多少呢?

生:0.866.

师:对!因此，我们是不是同样可以认为:一个边长为1，一个角α=60°的菱形面积是由单位正方形的面积约打了八六折得到的?就是：s(菱形)=sin60°=0.866.

生:(似有所悟)可以这样说。

师:(乘势引导)也就是说，在一般情形下，当角A为α时，菱形的面积S(菱形)=sinα可以怎样理解?

生:折扣是sinα!

师:(继续引导)好!我们再来看边长为a=3的正方形，如图3和4，当角A为α时面积的折扣是多少?原来面积是9，现在面积应该是多少?

生:折扣是sinα，现在面积是9sina!

师:对!在这种情形下，sinα还是一个折扣。当α=30°时，菱形面积=9sin30°。面积打五折了，同样当α=60°时，面积就约打八六折。根据上面的讨论结果，我们是不是可以这样认为:平行四边形的面积就是长方形面积打sinα折后得到的?

生:对!

师:我们是不是可以进一步认为，无论是单位正方形、一般正方形，还是长方形，只要它的一个角改变成α，它的面积就打折扣了，这个折扣就是sinα.

生:(略作思考，齐声)对!

至此，学生对正弦的概念有了一个较为完整的理解。在这个过程中，如果说“面积”这个过渡性的概念的引入使学生对“正弦”概念有了空间意义上的认识，那么，另一个过渡性概念“折扣”则使学生开始有了代数意义的初步思考。

为了检验教学效果，我们在教学过程中穿插安排了教学效果的形成性检验。

(一)教师引导下的练习。检验方法:例题分析;检验目的，①巩固已学概念;②适当引申，并归纳出正弦性质；③为后续学习做好铺垫。

【片段三:探究正弦性质】

【例】一个边长分别为a和b的 长方形ABCD(图7)，改变角B，使它成为一个内角为B=α的平行四边形ABCD，那么平行四边形ABCD的 面积是多少?

师:哪位同学能回答?

生:(争先恐后)长方形ABCD面积ab打一个sinα折扣。 S(平行四边形)=absinα.

师:好!两边分别为a和b夹角为α的三角形面积是多少?(图8)

生:(一下子没有回答).

师:我们一起讨论，在图7中连接AC，就把平行四边形 ABCD分成两个三角形，那么三角形ABC的面积是平行四边形ABCD面积的……

生:(似乎豁然开朗，半数左右学生齐声)一半!

师:好!(板书):

S(△ABC)=1/2absinα.

师:(出示图1和2)当A角为0°，180°，90°时，它们的面积各为多少?

生:(讨论)它们的面积分别为0，0，1.

师:我们把这个结论写在黑板上(板书):

(1)sin0°=sin180°=0;

(2)sin90°=1;

(3)sinα=sin(180°-α);

(4)当α为锐角时，α越大sinα就越大。

从例题解决的情形看，学生们已经很好地掌握了通过“面积”、“折扣”引出的正弦概念，而且，通过面积、折扣容易地得出了正弦的基本性质，尤为重要的是，公式

S(△ABC)=1/2absinα

的得出，为三角、几何和代数后续学习做好了重要的铺垫。

(二)课堂练习检验。检验方式:学生独立完成课堂练习，教师针对性分析。目的:①进一步巩固;②发现知识掌握的不足;③为整体理解找帮助。

【练习一】

1. 用计算器求值

(1)sin30°，(2)sin45°，(3)sin60°，(4)sin120°

2. 边长分别为2和4，一个内角为30°的平行四边形ABCD的面积是_______.

3. 两边分别为6和5，夹角为45°的三角形面积是_______.

4.在括号内写出和左端不同的角的度数，使等式成立。

sin40°=sin( ) ，sin170°=sin( ).

绝大多数学生都在几分钟内顺利完成，而且回答得很准确。

在检查了学生课堂练习后，教师乘势作了新的引申:

【片段四:正弦再认识】

师:请同学们继续研究平行四边形的面积(图9)，点B到 AC的距离是多少?

生:线段BA.

师:对，那么在图10中，点B到AD的距离是多少呢?

生:(很多学生齐声)BC

师:(继续追问)长方形ABCD面积为多少?

生:BA×AC.

师:那么平行四边形ABED面积是多少呢?

生:BC×AD.

师:(继续分析)我们知道从长方形(图9)变为平行四边形(图10)，面积打的折扣就是sinA。而平行四边形的面积为底乘高，当长方形ABCD的角A发生变化，长方形(图9)变为平行四边形(图10)时，它的底有没有变化?

生:(齐声)没有!

师:那么到底是谁打了折扣呢?

生:高!

师:对!就是这个高打了折扣，所以面积变化是由高的变化所引起的，其实就是高打了sinA折，即BC=BA×sinA.

师:(继续启发)根据小学学过的折扣的知识，BC是由BA打sinA折得到，那么sinA又可以怎样表示?

生:sinA=BC/BA.

师:(指着图10)同学们，在直角ΔABC中看，角A的正弦与边的关系是……?

生:sinA是角A的对边与斜边的比。

然后，教师又让学生拿出含有30°角的三角板，通过度量30°角所对的直角边与斜边长度，验证

sin30°=对边/斜边=1/2

于是师生共同得出结论四:在直角三角形ABC中，一个锐角A的正弦等于这个角的对边与斜边之比。

【练习二】

1. 如图1，ΔABC中∠C=90°，BC=6，sinA=0.6，求AB的长。

2. 在第1题中如果AC=8，求sinB.

3. 比较大小

(1)sin30° _______ sin80°

(2)sin100° _______sin140°

4.两块同样的三角板如图2放置，则黑色部分的面积是否相等?为什么?

从练习二的情况看，多数学生对前3个练习解答都比较顺利，对第4小题，尽管有个别同学能够写出答案，不少同学仍感到困难。但他们在教师的启发、引导下，大多数学生还是很快弄明白，课堂练习顺利完成。

(三)课后了解。目的:了解学生学习兴趣。进一步巩固学习的信心。

下课后，我就近问旁边的同学“正弦是什么?”几个学生抢着说“正弦就是打折”，我又问“今天老师讲的内容能听懂吗?”他们一起回答说“懂”。

三、教学反思

分析“重建三角”的教学过程，结合穿插在教学过程中形成性检验的结果分析，我们可以得出:

1. 用直观的“面积”、“折扣”引入较为抽象的“正弦"概念，能降低教学台阶，学生掌握新概念比较顺利。而且由于抽象概念的形象描述，克服了以往正弦概念教学中从抽象到抽象的弊端。

2. 以“面积”、“折扣”为过渡性概念作铺垫，教学引申比较顺利，变式训练的难度大大降低。学生在学习过程中始终保持浓厚的 兴趣，对后续学习产生了强烈的期待，学习的动力被进一步激发。

3. 从数学思维的培养角度分析，“面积”的引入拓展了学生对正弦概念的“形”的思考，而“折扣”的引入又启动了学生的“数”的思维。这种全新的课程逻辑体系将有利于学生“数、形”融合，使后续学习的思维空间得到整体的拓展，防止数学整体思维的人为割裂。

综上所述，“面积”和“折扣”并不是本节课教学的目标性概念，而是一个有用的、为引入和理解正弦涵义的形象的过渡性概念。"面积”、“折扣”的引入不但有利于降低学习的台阶、降低教学的难度，更为重要的是，通过这两个过渡性概念的引入，在三角、几何、代数间搭建了一个互相联系的思维通道。我们希望，这一尝试能为“重建三角"的教学探索提供一个教学案例。

作者：

(宁波教育学院 崔雪芳)

参考文献

张景中.2006.重建三角，全盘皆活——初中数学课程结构性改革的的一个建议.数学教学，(10):封二~4

张奠宙.2006.让我们来重新认识三角——兼谈数学教育要在数学上下功夫.数学教学，(10):5~10