自然定义域是什么意思（关于很多数学教师有争议的“判别式法求值域”的思考）

许兴华数学（东方IC图片）

近几天有高一的学生问我这样一个数学问题：

（1）求函数y=(x 6)/[(x-5)(x 1)]的值域.

把这个问题一般化，我们得到下列的问题：

（2）设a，b，c是互不相同的实数常数，求函数y=(x-c)/[(x-a)(x-b)]的值域.

函数值域的方法叫做“判别式法”．在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹．

从上面两个例子中，我们看出：形如上面（*）式的函数，如果分母g(x)是二次函数，且对于任意实数x，g(x)恒不为零，那么，上面的“判别式”解法是没什么问题的。关键是要对取两个端点的值进行检验即可。但是，大家再看下面的例3.

由于上述问题的出现，在中学数学中，有一部分老师认为，形如（*）式的函数，如果定义域不是实数集R，则不宜采用判别式法来解，否则，就导致错误。事实真的是这样的吗？

对于文章开头提出的问题（2），我们现在采用“判别式法”及“双勾函数法”两种解法得出的结论进行对比看看。

【法1】用“判别式法”：若y=0,则x=c；若y不等于0，则

【法2】用“双勾函数法”，即转化为用f(x)=x (a/x),(a>0)来解：

由上面两种方法作比较知，用“判别式法”解出的答案也是正确的。

【思考1 】在运用“判别式法求值域”时，为什么必须讨论二次项系数为

零的情形呢?

当二次项系数为零时，方程不再是二次方程，更无判别式可言．因此在用判别式法求函数值域时，必须考虑到二次项系数dy—a=0即

也就是说，象这类自然定义域(使函数解析式有意义的X的取值集合)的分式函数求值域，当分子、分母无公因式时判别式法仍然适用．

当分式函数的定义域不为自然定义域时，尽管分子、分母无公因式，也不能仅用判别式来求值域，可考虑其他方法，如根据方程在自变量的限制条件下有实根的充要条件即一元二次方程的实根分布理论来解决．

运用数学软件“几何画板”可验证答案的正确性（见上图）。