一元二次不等式恒成立问题解法（高中数学二次函数不等式恒成立问题的4种常用方法）

高中不等式实际是一个综合知识点，像三角函数求最值，数列前n项和，解析几何或函数的最值与恒等，都有可能牵连到不等式。有一些同学，他们面对最难的函数或导数有应对策略，面对解析几何也知道套路，但面对不等式往往手忙脚乱。今天就和大家分享不等式中的一类题型，也是高考的常见题型——二次函数不等式的恒成立或能成立问题。

二次函数不等式的恒成立或能成立问题，在2018年的高考全国卷、2021年的高考辽宁卷都有出现。解决此类问题常用的方法有：判别式法、数形结合、参数分离法和转化为函数最值问题。

1、判别式法

判别式法主要应用解决二次函数不等式。如下例题

显然，当k小于0，且判别式小于0（即图像与x轴无交点）时，恒成立才成立，从而求得k的范围。当然本题还要注意到当k=0时的情况。

可以总结为：f(x)小于0恒成立，则a小于0且判别式小于0；f(x)大于0恒成立，则a大于0且判别式小于0。

2、数形结合

数形结合是数学伟大的思想，但凡能画出图像或者图像大概的，都可以尝试数形结合。它可以巧妙将问题进行转化，从而方便解决问题。

本题有多种解法，但最巧妙的还是数形结合。将不等式左侧看做函数f(x)，即f(x)在定义域【1,2】内小于0恒成立求m取值范围。当我们画出函数大概图像，在x轴上表示出1和2的位置，就会很轻松做出这样的结论：

要想f(x)<0恒成立，则f(x)与x轴的交点（即f(x)=0的两个根），必须在1和2的两侧，也就是f(1)<0且f(2)<0。只有这样才能保证f(x)<0在区间[1,2]恒成立。因为f(1)<0且f(2)<0已经保证了方程有根，所以也无须再用判别式。

3、分离参数法

分离参数法比较常用，也是容易想到的。它的思想就是把待求参数和已知参数分开，转化为类似y=f(x)的函数，从而转化为函数最值求解。

通过移项，最终可以转化为m关于x的函数。

4、转化为函数求最值

不等式问题一旦转化为函数最值问题，解决方法就多了。可以通过函数的单调性、函数图像数形结合，或者函数的求导求最值来解决。不等式转换为函数常用的方法包括：基本不等式、恒等变换、构造新函数、放缩法等。

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