抽屉原理的本质（给孩子看看这篇文章就懂了）

狄利克雷，学不好抽屉原理，请不要恨他

抽屉原理是小学奥数中比较难的一个知识点，初次接触抽屉原理很容易“水土不服”，理解起来有困难。虽然大家对抽屉不陌生、对苹果更不陌生，但是谁会真得把苹果放抽屉里呀？好吧，就算非要这么干，那我想问问，你的苹果多得放不下了吗，你家有多少个抽屉放苹果呀？

上面的两个问题，涉及到了抽屉原理中的两个关键数学量：抽屉数量、苹果数量。那么这两个数学量之间有什么关系呢？不妨举一个实际的例子。

小胖买了三个超级大的苹果，想放入他的两个宝抽屉里。如果他随心所欲的放，一共有多少种不同的放法呢？不过得先说明一下，小胖的三个苹果是克隆苹果，一模一样无法区分哦。

列个酷酷的表格枚举一下，如果不允许把苹果切成几瓣，就会看到只有四种情况。但是这又能说明个啥呢，这不就是对数字3进行整数的拆分吗？

当然不是这么简单了！假设从抽屉里突然钻出了一个嘴里叼着苹果、苹果上还写满数学符号的大嘴怪，他自称“抽屉之神”。小胖被吓得半死，但这个大嘴怪只是问了小胖几个数学问题。

• “不管是哪一种分法，总有一个抽屉里放了0个或0个以上的苹果吧？” 小胖哆哆嗦嗦地数了数（都吓傻了，这还用数吗），发现确实是这样，就回答了是。
• 大嘴怪又问：“不管是哪一种分法，总有一个抽屉里放了1个或1个以上的苹果吧？”小胖又对照着表格核对了一遍，发现还是这样，又回答了是。
• 大嘴怪还问：“不管是哪一种分法，总有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果吧？”小胖有点吃不准，但在仔细核对后，又回答了是。
• 大嘴怪继续问：“不管是哪一种分法，总有一个抽屉里放了3个或3个以上的苹果吧？”小胖心想这怎么还没完没了了呢，但不敢不回答，仔细检查过后他发现有两种情况不符合大嘴怪说的这个情况。

大嘴怪，额，不对，抽屉之神说：“OK了，苹果个数是3、抽屉数量是2，那我们可以说无论怎么放，总有一个抽屉会放入2个或2个以上的苹果。”

小朋友们，你们看，这里说的“总有一个抽屉会放入2个或2个以上的苹果”就是最终的结论，这是抽屉原理中最费解、但也最重要的数学量，咱们把抽屉数量、苹果数量、结论这三个数学量看做抽屉原理的三个法宝。甭管什么样的抽屉原理题目，来来回回都是围绕这三个法宝来展开的。

显而易见，结论是根据苹果数量、抽屉数量得来的，但是如果苹果数量、抽屉数量变了呢？总不能每次都列出表格吧，有没有更简洁的方法呢？

必须有！

再回顾一下大嘴怪和小胖的对话，当将3个苹果放入2个抽屉里时，我们可以说无论哪种放法，总有一个抽屉放入0个或0个以上、1个或1个以上、2个或2个以上，但不能说3个或3个以上。结论中的数学量不是3，这是因为不能确保总如此，有的放法可以、但也有放法不可以；结论中的数学量也不是0或1，虽然能确保，但是没啥意义，这属于正确的废话，因为我们真正关心的是那个最大能确保的数字（再大就不能确保了），所以结论是2。

回想一下我们课堂上的推导过程，就会发现抽屉原理体现的其实是最值问题。

• 最小的最大：在所有能确保的结论当中寻找最大的那个数。
• 或最大的最小：从每一次分配方式中选出苹果最多的抽屉，然后将这些抽屉由大到小排队，结论就是其中最小的那个数。

生活中我们常说，“既要马儿跑，又让马儿少吃草”，这怎么可能呢！但在抽屉原理中，我们就是要做到“既能至少”，“又能确保”。怎么做到呢？这就需要平均分配的思想啦！

举一个贼简单的例子：镇元大仙摘了10个人参果分给孙悟空、猪八戒、沙僧三个师兄弟（为什么没有唐僧？给他了，他不要吃），但要求拿到人参果最多的那个人，分到的人参果数量要尽可能少，这该怎么做呢？

学过奥数最值问题的小朋友肯定知道：当然是平均分配（与之相对应的是“两极分化”最值思想），10/3=3...1，每人分3个，还剩1个，谁拿到这一个谁就分到了最多数量的人参果，且在所有分配方式中，这个最多数量（4个）是最多数量中最小的数。前面这句话是不是有点费解呢？那咱们就换个说法：把10个人参果分给三给人，无论你怎么分，总有一个人会拿到4或4个以上的人参果，换言之，总有一个人会拿到至少4个人参果。

哈哈，熟悉抽屉原理的同学立刻乐了，这不就是抽屉原理的结论吗？Yes，抽屉原理本质上就是平均分配。将N个苹果放到m个抽屉里，会有各种各样的放法，但如果把苹果平均分到每个抽屉里，假设N/m=k...r，即每个抽屉都可以放入k个苹果，还余下r个。显然这r个苹果也要放入抽屉中（但不够一个抽屉放1个了，因为r<m，余数总是小于除数），无论怎么放，总会有一个抽屉起码再接收至少1个苹果，即可以得出抽屉原理的结论：“总有一个抽屉放入了至少k 1个苹果”。

So，如果你能透彻理解平均分配这一思想，就能更好得理解抽屉原理。当然你也可以死记公式：

根据“苹果数/抽屉数=k...r”的余数来判断，如果r不为0，则总有一个抽屉放入了至少k 1个苹果；若r为0（即没有余数），则总有一个抽屉放入了至少k个苹果。

然而，这样你就如同一口吞掉人参果的猪八戒一样，根本体会不到数学的妙味了！